Question

如圖，已知拋物線y=x²+6x+5交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在點(diǎn)P，與A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）連結(jié)CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得直線EM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分？若存在，請(qǐng)求出直線EM的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,平行四邊形的性質(zhì),平移的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）只需根據(jù)對(duì)稱軸方程x=-

b

2a

就可求出該拋物線的對(duì)稱軸，只需令y=0就可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）可分AB為平行四邊形的一邊和對(duì)角線兩種情況討論，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)就可解決問題；
（3）設(shè)直線EM與y軸交于點(diǎn)F，可先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出四邊形DEOC的面積，即可得到△EOF的面積，就可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出直線EM的解析式．

解答：解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為x=-

6

2×1

=-3；
當(dāng)y=0時(shí)，有x²+6x+5=0，
解得：x₁=-1，x₂=-5，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-5，0）．

（2）當(dāng)x=0時(shí)，y=5，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．
①若AB為平行四邊形的一邊，如圖1，
則有PC∥AB，PC=AB=-1-（-5）=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0+4，5）或（0-4，5），
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）或（-4，5）；
②若AB為平行四邊形的一條對(duì)角線，如圖1，
則有BP∥CA，BP=CA．
∵點(diǎn)C（0，5）向左平移5個(gè)單位再向下平移5個(gè)單位到點(diǎn)A（-5，0），
∴點(diǎn)B（-1，0）向左平移5個(gè)單位再向下平移5個(gè)單位到點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1-5，0-5）即（-6，-5）．
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，分別為（4，5），（-4，5），（-6，-5）．

（3）在拋物線上存在點(diǎn)M，使得直線EM把四邊形DEOC分成面積相等的兩部分．
設(shè)直線EM與y軸交于點(diǎn)F，則有S_△EOF=

1

2

S_梯形EOCD．
∵點(diǎn)A（-5，0），點(diǎn)E（-3，0），點(diǎn)C（0，5），
∴OA=OC=5，OE=3，AE=OA-OE=5-3=2．
∵∠AOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．
∵DE⊥x軸，∴∠EDA=∠EAD=45°，
∴ED=EA=2，
∴S_梯形EOCD=

1

2

（ED+OC）•OE=

1

2

×（2+5）×3=

21

2

，
∴S_△EOF=

1

2

×

21

2

=

21

4

，
∴

1

2

OE•OF=

1

2

×3×OF=

21

4

，
∴OF=

7

2

，
∴點(diǎn)F為（0，

7

2

）．
設(shè)直線EM的解析式為y=kx+b，
∵直線EM經(jīng)過點(diǎn)E（-3，0）和點(diǎn)F（0，

7

2

），
∴

-3k+b=0 b= 7 2

，
解得：

k= 7 6 b= 7 2

，
∴直線EM的解析式為y=

7

6

x+

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求直線的解析式、拋物線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．