Question

已知：直線L：y=kx+b（k≠3），拋物線Q：y=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

．直線L與y軸交于點(diǎn)M（0，k）．
（1）試證直線L總與拋物線Q有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）若直線L與拋物線Q的兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y(tǒng)軸的距離相等，試求L的解析式．

Answer 1

分析：（1）由直線L：y=kx+b（k≠3）與y軸交于點(diǎn)M（0，k），即可求得B=K，又由若直線L與拋物線Q有交點(diǎn)，可得kx+k=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

，然后可根據(jù)判別式求得△＞0，注意k≠3，則可證得直線L總與拋物線Q有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）由直線L與拋物線Q的兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y(tǒng)軸的距離相等，即可得x₁+x₂=0，又由根與系數(shù)的關(guān)系，可得方程x₁+x₂=-

4k-6

3

=0，解此方程組即可求得k的值，繼而求得L的解析式．

解答：解：（1）∵直線L：y=kx+b（k≠3）與y軸交于點(diǎn)M（0，k），
∴b=k，
即直線L的解析式為：y=kx+k，
∴直線L與拋物線Q的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，即：kx+k=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

，
整理得：3x²+（4k-6）x+（4k-9）=0，
∴△=（4k-6）²-12（4k-9）=（4k-6）²-12（4k-6）+36=（4k-6-6）²=（4k-12）²，
∵k≠3，
∴4k-12≠0，
∴△＞0，
∴直線L總與拋物線Q有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）∵直線L與拋物線Q的兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y(tǒng)軸的距離相等，
∴x₁+x₂=0，
∵x₁+x₂=-

4k-6

3

=0，
解得：k=

3

2

，
∴L的解析式為：y=

3

2

x+

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，一元二次方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系等知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想的應(yīng)用．