【題目】如圖1,點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上任意點(diǎn),以DE為邊作正方形DEFG,連接BF.點(diǎn)M是線段BF中點(diǎn),射線EM與BC交于點(diǎn)H,連接CM.
(1)請(qǐng)直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系:__________;
(2)把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,此時(shí)點(diǎn)E、G恰好分別落在線段AD、CD上,如圖2所示,其他條件不變,(1)中的結(jié)論是否成立,請(qǐng)說明理由.
(3)若DG=,AB=4.
①把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,此時(shí)點(diǎn)F恰好落在線段CD上,連接EM,如圖3所示,其他條件不變,計(jì)算EM的長度;
②若把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,請(qǐng)直接寫出EM的最大值.
【答案】(1).(2)成立,具體利用見解析;(3)①;②.
【解析】
(1)證明,得到HM=EM,根據(jù)等腰之間三角形的性質(zhì)即可得到;
(2)連接DF,MG,作于N,可證得,得到ME=MG,,再由M為BF的中點(diǎn),,得到GN=NC,進(jìn)一步可得到,又,,再由角度的關(guān)系可得到,即可得到結(jié)論.
(3)①連接BE,CE,過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可推出,,證明,進(jìn)一步可得到△CME是等腰直角三角形,根據(jù)之間三角形的性質(zhì)求解即可.
②由條件可證的△CME為等腰直角三角形,當(dāng)CE最大時(shí),EM最大,當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至D點(diǎn)下方時(shí),且C,D,E共線時(shí)CE最大,此時(shí)CE=,再根據(jù)勾股定理即可求解.
(1)結(jié)論:.
理由:如圖1中,
∵,,
∴,
在△FME和△BMH中,
,
∴,
∴HM=EM,EF=BH.
∵CD=BC,
∴CE=CH,
又∵,HM=EM,
∴.
(2).
理由:如圖,連接DF,MG,作于N,
在△EDM和△GDM中,
,
∴,
∴ME=MG,,
∵M(jìn)為BF的中點(diǎn),,
∴GN=NC,
又,
∴MC=ME,
∴MC=MG,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴(1)中結(jié)論成立.
(3)①解:如圖,連接BE,CE,過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,
∵四邊形ABCD和四邊形EDGH是正方形,
∴,,
∴點(diǎn)B、E、D在同一條直線上,
∵,,M為BF的中點(diǎn),
∴,,
∴CM=ME,
又∵,
∴,
,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∴△CME是等腰直角三角形,,
在Rt△CME中,,,
∴EH=DH=1,
∴CH=4-1=3,
在Rt△CHE中,,
∴ .
②由上問可知一直成立,
∴△CME為等腰直角三角形,
∴當(dāng)CE最大時(shí),EM最大,
當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至D點(diǎn)下方時(shí),且C,D,E共線時(shí)CE最大,
此時(shí)CE=.
設(shè)CM=EM=x,
則,
解得,
∴EM的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸正半軸交與點(diǎn)B,頂點(diǎn)為P,且OB=3OA,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B.
(1) 求一次函數(shù)解析式;
(2)求頂點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)平移直線AB使其過點(diǎn)P,如果點(diǎn)M在平移后的直線上,且,求點(diǎn)M坐標(biāo);
(4)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸與點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AP交y軸與點(diǎn)D,若點(diǎn)Q、N分別為兩線段PE、PD上的動(dòng)點(diǎn),聯(lián)結(jié)QD、QN,請(qǐng)直接寫出QD+QN的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸和y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,6).反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,與AB交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求k的值;
(2)求直線DE的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】襄陽臥龍大橋橫跨漢江,是我市標(biāo)志性建筑之一.某校數(shù)學(xué)興趣小組在假日對(duì)豎立的索塔在橋面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)進(jìn)行了測(cè)量.如圖所示,最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距離為121m,拉索AB與橋面AC的夾角為37°,從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向前進(jìn)23.5m,在D處測(cè)得塔冠頂端E的仰角為45°.請(qǐng)你求出塔冠BE的高度(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接AE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G,連接CG并延長,交AB于點(diǎn)F,連接DE交CF于點(diǎn)H,連接AH.以下結(jié)論:①CF⊥DE;②;③AD=AH;④GH=,其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某校初二學(xué)生每周上網(wǎng)的時(shí)間,兩位學(xué)生進(jìn)行了抽樣調(diào)查.小麗調(diào)查了初二電腦愛好者中40名學(xué)生每周上網(wǎng)的時(shí)間;小杰從全校400名初二學(xué)生中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,調(diào)查了每周上網(wǎng)的時(shí)間.小麗與小杰整理各自樣本數(shù)據(jù),如下表所示:
時(shí)間段 (小時(shí)/周) | 小麗抽樣 人數(shù) | 小杰抽樣 人數(shù) |
0~1 | 6 | 22 |
1~2 | 10 | 10 |
2~3 | 16 | 6 |
3~4 | 8 | 2 |
(每組可含最低值,不含最高值)
(1)你認(rèn)為哪位同學(xué)抽取的樣本不合理?請(qǐng)說明理由;
(2)根據(jù)合理抽取的樣本,把上圖中的頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)畫完整;
(3)專家建議每周上網(wǎng)2小時(shí)以上(含2小時(shí))的同學(xué)應(yīng)適當(dāng)減少上網(wǎng)的時(shí)間,估計(jì)該校全體初二學(xué)生中有多少名同學(xué)應(yīng)適當(dāng)減少上網(wǎng)的時(shí)間?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某網(wǎng)站調(diào)查,2019年網(wǎng)民最關(guān)注的熱點(diǎn)話題分別是:消費(fèi)、教育、環(huán)保、反腐及其他共五類,根據(jù)調(diào)查的部分相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖如圖:
根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)請(qǐng)補(bǔ)全條形圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù).
(2)若某市中心城區(qū)約有90萬人口,請(qǐng)你估計(jì)該市中心城區(qū)最關(guān)注教育問題的人數(shù)約有多少萬人?
(3)據(jù)統(tǒng)計(jì),2017年網(wǎng)民最關(guān)注教育問題的人數(shù)所占百分比約為10%,則從2017年到2019年關(guān)注該問題網(wǎng)民數(shù)的年平均增長率約為多少?(已知2017~2019年每年接受調(diào)查的網(wǎng)民人數(shù)相同,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,點(diǎn)E為上的任意一點(diǎn),連接,將沿BE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,連接,若是直角三角形,則的長為__________.
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