Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于點A（﹣2，1），點B（1，n）．
（1）求此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）請直接寫出滿足不等式kx+b﹣ ＜0的解集；
（3）在平面直角坐標系的第二象限內(nèi)邊長為1的正方形EFDG的邊均平行于坐標軸，若點E（﹣a，a），如圖，當曲線y= （x＜0）與此正方形的邊有交點時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣2，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴m=﹣2×1=﹣2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ；

∵點B（1，n）在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上，

∴﹣2=n，即點B的坐標為（1，﹣2）．

將點A（﹣2，1）、點B（1，﹣2）代入y=kx+b中得：

，解得： ，

∴一次函數(shù)的解析式為y=﹣x﹣1

（2）解：不等式﹣x﹣1﹣（﹣ ）＜0可變形為：﹣x﹣1＜﹣ ，

觀察兩函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當﹣2＜x＜0或x＞1時，一次函數(shù)圖象在反比例圖象下方，

∴滿足不等式kx+b﹣ ＜0的解集為﹣2＜x＜0或x＞1

（3）解：過點O、E作直線OE，如圖所示．

∵點E的坐標為（﹣a，a），

∴直線OE的解析式為y=﹣x．

∵四邊形EFDG是邊長為1的正方形，且各邊均平行于坐標軸，

∴點D的坐標為（﹣a+1，a﹣1），

∵a﹣1=﹣（﹣a+1），

∴點D在直線OE上．

將y=﹣x代入y=﹣ （x＜0）得：

﹣x=﹣ ，即x2=2，

解得：x=﹣ ，或x= （舍去）．

∵曲線y=﹣ （x＜0）與此正方形的邊有交點，

∴﹣a≤﹣ ≤﹣a+1，

解得： ≤a≤ +1．

故當曲線y= （x＜0）與此正方形的邊有交點時，a的取值范圍為 ≤a≤ +1

【解析】（1）由點A的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù)m，從而得出反比例函數(shù)解析式；由點B在反比例函數(shù)圖象上，即可求出點B的坐標，再由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點坐標，即可得出不等式的解集；（3）過點O、E作直線OE，求出直線OE的解析式，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出點D的坐標，并驗證點D在直線OE上，再將直線OE的解析式代入到反比例函數(shù)解析式中，求出交點坐標橫坐標，結(jié)合函數(shù)圖象以及點D、E的坐標即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．