Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)D，與直線y=x交于點(diǎn)M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接DE，并延長(zhǎng)DE交圓O于F，求EF的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)B作圓O的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，判斷點(diǎn)P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圖形，易得點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；進(jìn)而可得拋物線上三點(diǎn)D、M、N的坐標(biāo)，將其代入解析式，求可得解析式；
（2）有（1）的解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即OE、DE的長(zhǎng)，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD-DE的關(guān)系代入數(shù)值可得答案；（3）首先根據(jù)CD的坐標(biāo)求出CD的直線方程，在根據(jù)切線的性質(zhì)，可求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得P是否在拋物線上．
解答：解：（1）∵圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O的半徑為1
∴點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（0，-1）、C（1，0）、D（0，1）
∵拋物線與直線y=x交于點(diǎn)M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點(diǎn)A和點(diǎn)C
∴M（-1，-1）、N（1，1）
∵點(diǎn)D、M、N在拋物線上，將D（0，1）、M（-1，-1）、N（1，1）的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c，
得：
解之，得：
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1．

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-）²+
∴拋物線的對(duì)稱軸為
∴OE=，DE=
連接BF，則∠BFD=90°
∴△BFD∽△EOD
∴
又DE=，OD=1，DB=2
∴FD=
∴EF=FD-DE=．

（3）點(diǎn)P在拋物線上．
設(shè)過D、C點(diǎn)的直線為y=kx+b
將點(diǎn)C（1，0）、D（0，1）的坐標(biāo)代入y=kx+b，得
k=-1，b=1
∴直線DC為y=-x+1
過點(diǎn)B作圓O的切線BP與x軸平行，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=-1
將y=-1代入y=-x+1，得x=2
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1）
當(dāng)x=2時(shí)，y=-x²+x+1=-2²+2+1=-1
所以，P點(diǎn)在拋物線y=-x²+x+1上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與圓的位置關(guān)系，要求學(xué)生將圖象與解析式互相結(jié)合分析、處理問題．