Question

解答題
①已知：如圖，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的長(zhǎng)．
②如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

Answer 1

①解：過C作CE⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于E，
∵∠CAB=120°，
∴∠CAE=60°，
∴∠ACE=30°
∵AC=2，
∴AE=AC=1
∵在Rt△ACE中，由勾股定理可得：CE²=AC²-AE²=3，
∴CE=，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC²=CE²+BE²=28，
∴BC=
∵AB×CE=CB×AD，
∴×4×=××AD，
∴AD=；
②解：
作A關(guān)于小河（EF）的對(duì)稱點(diǎn)C，連接BC交EF于P，則此時(shí)AP+BP最小，
過B作OB⊥AC于O，
則BO=8，CA=4+4=8，CO=8+7=15，
則PA+PB=PC+PB=BC==17（km），
答：要完成這件事情所走的最短路程是17km．
分析：①過C作CE⊥BE交BA的延長(zhǎng)線于E，求出∠ACE=30°，求出AE，CE，根據(jù)三角形面積公式得出AB×CE=CB×AD，代入求出即可；
②根據(jù)題意畫出P點(diǎn)的位置，得出A、C關(guān)于小河對(duì)稱，求出BO、CO，根據(jù)勾股定理求出BC，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、軸對(duì)稱-最短路線問題、含30度角的直角三角形的應(yīng)用，解（1）的關(guān)鍵是得出關(guān)系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的長(zhǎng)，解（2）的關(guān)鍵是找出P點(diǎn)的位置．