Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（0，n），以點B為直角頂點，點C在第二象限內(nèi)，作等腰直角△ABC．

（1）點C的坐標為 （用字母n表示）

（2）如果△ABC的面積為5.5，求n的值；

（3）在（2）的條件下，坐標平面內(nèi)是否存在一點M，使以點M、A、B為頂點組成的三角形與△ABC全等？如果存在畫出符合要求的圖形，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）(n,n+2)；（2）n= ；（3）M (,2);M (2,2);M (2,2).

【解析】

（1）證明△ABO≌△BCH，得出CH=OB=n，BH=AO=2，即可得出結果；

（2）根據(jù)題意列出方程，解方程即可；

（3）分情況討論：當B為直角頂點時，作M ⊥y軸于E；

當A為直角頂點時，分兩種情況：①M 在第二象限時，作MF⊥x軸于F；②M 在第四象限時，作M G⊥x軸于G；根據(jù)（1）的結果容易求出M的坐標．

(1)過點C作y軸的垂線CH,垂足為H,如圖所示：

則∠CHB=90°.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

又∵∠HCB+∠HBC=∠HBC+∠ABO=90°，

∴∠HCB =∠ABO.

在△ABO和△BCH中,

∴△ABO≌△BCH(AAS)，

∴CH=OB=n，BH=AO=2，

點C的坐標是(n,n+2)；

(2)∵S△ABC=S梯形HCAOS△CHBS△ABO,

∴5.5= (n+2) 2n,解得：n= (負值已舍)，

(3)存在;如圖所示：根據(jù)題意得M只能為銳角頂點；

當B為直角頂點時,作M⊥y軸于E，

由(1)得,EM=OB=，BE=OA=2，

∴OE=2，

∴M1(,2)；

當A為直角頂點時，分兩種情況：

M在第二象限時,作MF⊥x軸于F，

由(1)得：MF=2,AF=，

∴OF=+2，

∴M (2,2)；

M在第四象限時,作MG⊥x軸于G，

由(1)得：MG=2,AG=，

∴OG=2,∴M (2,2)；

綜上所述：點M的坐標為M (,2);M (2,2);M (2,2).