Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，點O是斜邊AB上一點，以O為圓心2為半徑的圓分別與AC、BC相切于點D、E．
（1）求AC、BC的長；
（2）若AC=3，連接BD，求圖中陰影部分的面積（π取3.14）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD、OE，得出四邊形CDOE是正方形，推出CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，設AD=x，求出BE=5-x，證△OEB∽△ADO，得出=，代入求出x即可；
（2）求出AC=3，AD=3-1=2，BC=6，根據(jù)陰影部分的面積S=S_ACB-S_△ADB-（S_{正方形CDOE}-S_扇形ODE）代入求出即可．
解答：解：（1）連接OD、OE，
∵⊙O切BC于E，切AC于D，∠C=90°，
∴∠ADO=∠BEO=90°，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，
∵OE=OD=2，
∴四邊形CDOE是正方形，
∴CE=CD=OD=OE=2，∠DOE=90°，
∵∠OEB=∠C=90°，
設AD=x，
∵AC+BC=9，
∴BE=9-2-2-x=5-x，
∴OE∥AC，
∴∠EOB=∠A，
∴△OEB∽△ADO，
∴=，
∴=，
x=1或4，
∴AC=3，BC=6或AC=6，BC=3；


（2）AC=3，AD=3-1=2，BC=6，
∴陰影部分的面積S=S_△ACB-S_△ADB-（S_{正方形CDOE}-S_扇形ODE）
=×3×6-×1×6-（2×2-）
=9-3-（4-π）
=2+π
≈5.14．
點評：本題考查了扇形的面積，正方形性質(zhì)和判定，三角形的面積，切線的性質(zhì)的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力．