Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連接CD。過點D作DE⊥AB于E，交AC于點P，求證：點P平分線段DE。

Answer 1

【答案】證明：連結OD ， OD∥AD ，

∴∠1＝∠ADO ， ∠2＝∠DAO ，
∵OA=OD ， ∴∠ADO=∠DAO ，
∴∠1＝∠2，∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC ， ∴∠ODC＝∠OBC。
∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，
∴BC⊥OB
∴∠OBC＝900 ， ∴∠ODC＝900 ， ∴CD⊥OD。
∴CD是⊙O的切線。
過A作⊙O的切線AF ， 交CD的延長線于點F ， 則FA⊥AB。
∵DE⊥AB ， CB⊥AB ， ∴FA∥DE∥CB,
∴ 。
在△FAC中，∵DP∥FA, ∴ 。
∵FA、FD是⊙O的切線，∴FA=FD，∴ 。
在△ABC中，∵EP∥BC, ∴ 。
∵CD、CB是⊙O的切線，∴CB=CD ， ，
∴ ， ∴DP=EP ，
∴點P平分線段DE.
【解析】出現切線時，連接圓心和切點，過A作平行線，可由DP∥FA得到 ,可由EP∥BC得到,再利用切線長定理得出CB=CD,進而證出DP=EP.