Question

（2009•鐵嶺）如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C、A（1，1）、B（3，1）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，把已知坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式．
（2）求出S的面積，根據(jù)t的取值不同分三種情況討論S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，代入解析式，判斷是否存在．
解答：解：（1）方法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得：（1分）
，
解得．（3分）
∴所求拋物線解析式為y=-x²+x．（4分）
方法二：∵A（1，1），B（3，1），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2．
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+h（a≠0）（1分）
把O（0，0），A（1，1）代入
得，
解得，（3分）
∴所求拋物線解析式為y=-（x-2）²+．（4分）

（2）分三種情況：S=t²，BM=BN=1-（t-3）=4-t
①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S_△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵A（1，1），
∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos 45°=t．S=t²，（6分）
②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，
則四邊形OAGP是等腰梯形，重疊部分的面積是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=（AG+OP）AF=（t+t-2）×1=t-1．（8分）
③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}．
因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴S=（2+3）×1-（4-t）²，
S=-t²+4t-．（10分）

（3）存在．
當(dāng)O點(diǎn)在拋物線上時(shí)，將O（t，t）代入拋物線解析式，解得t=0（舍去），t=1；
當(dāng)Q點(diǎn)在拋物線上時(shí)，Q（t，t）代入拋物線解析式得t=0（舍去），t=2．
故t=1或2．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道典型的綜合題，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及考生理解圖形的能力，難度較大．