Question

如圖①，矩形ABCD被對(duì)角線AC分為兩個(gè)直角三角形，AB=3，BC=6．現(xiàn)將Rt△ADC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的位置為點(diǎn)E，點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的位置為點(diǎn)F．以C為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求直線AE的解析式；
（2）將Rt△EFC沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，如圖③．設(shè)OC=x（0＜x≤9），Rt△EFC與Rt△ABO的重疊部分面積為s；求當(dāng)x=1與x=8時(shí)，s的值；
（3）在（2）的條件下s是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出A（-6，3），E（3，6）的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（2）①當(dāng)x=1時(shí)，如圖1，重疊部分為△POC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答；
②當(dāng)x=8時(shí)，如圖2，重疊部分為梯形FQAB，根據(jù)梯形的面積公式解答．
（3）①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤3與7.5＜x≤9時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)s的最大值．
②當(dāng)3＜x≤6時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=6時(shí)，s最大．
③當(dāng)6＜x≤7.5時(shí)，如圖4，表示出各三角形的面積，，，，再將s表示為S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．
解答：解：（1）AB=3，BC=6，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：A（-6，3），E（3，6），
設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，
把A（-6，3），E（3，6）分別代入解析式得，
，
解得，，
直線AE解析式為：．
（2）①當(dāng)x=1時(shí)，如圖1，重疊部分為△POC，

可得：Rt△POC∽R(shí)t△BOA，
∴，
即：，
解得：S=．
②當(dāng)x=8時(shí)，如圖2，重疊部分為梯形FQAB，
可得：OF=5，BF=1，F(xiàn)Q=2.5，
∴S=．
（3）解法一：

①顯然，畫圖分析，從圖中可以看出：當(dāng)0＜x≤3與7.5＜x≤9時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)s的最大值．
②當(dāng)3＜x≤6時(shí)，由圖3可知：當(dāng)x=6時(shí)，s最大．
此時(shí)，，，
∴S=．
③當(dāng)6＜x≤7.5時(shí)，如圖4，，，．
∴S=S_△OCN-S_△OFM-S_△BCG=，
∴S=，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，，
綜合得：當(dāng)時(shí)，存在S的最大值，．
解法二：
同解法一③可得：
若0＜x≤3，則當(dāng)x=3時(shí)，S最大，最大值為；
若3＜x≤6，則當(dāng)x=6時(shí)，S最大，最大值為；
若6＜x＜7.5，則當(dāng)時(shí)，S最大，最大值為；
若7.5≤x≤9，則當(dāng)x=7.5時(shí)，S最大，最大值為；
綜合得：當(dāng)時(shí)，存在S的最大值，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及二次函數(shù)的最值、三角形的面積及梯形面積的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真解答．