Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC＜60°，把線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BP；如圖所示位置有∠ABQ=60°，∠BCQ=150°．

（1）若∠BAC=30°，則∠ABP=      度；若∠BAC=α，則∠ABP=          （用α表示）；
（2）求證：△ABQ為等邊三角形；
（3）四邊形CBPQ的面積為1，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）15，；（2）證明見解析；（3）1.

試題分析：（1）若∠BAC=30°，一方面在△ABC中，AB=AC，可得∠ABC=75°，另一方面由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠CBP=60°，因而∠ABP=15°；若∠BAC=α，同上可得，因而由∠BAC＜60°可得，所以；（2）連接CP，AP，由已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過證明△ABP≌△ACP（SSS）和△ABP≌△QBC（ASA）來證明△ABQ為等邊三角形；（3）通過轉(zhuǎn)換，可得.
試題解析：（1）15；.
（2）如圖，連接CP，AP，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC=BP，∠CBP=60°，∴△BCP為等邊三角形. ∴BP=CP，∠BPC=60°.
在△ABP和△ACP中，∵，∴△ABP≌△ACP（SSS）. ∴.
又∵∠BCQ=150°，∴.
在△ABP和△QBC中，∵，∴△ABP≌△QBC（ASA）. ∴BA=BQ.
∴△ABQ為等邊三角形.
（3）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BP交BP的延長線于點(diǎn)H，則
由（2）得，∴. ∴.
由（2）△ABQ為等邊三角形得，∴. ∴.
由（2）得，∴.
又∵，∴.