Question

【題目】如圖（1），凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)．

【1】在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β；

【2】在圖（4）四邊形ABCD中畫(huà)出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫(huà)圖痕跡（不需寫(xiě)出畫(huà)法）；

【3】若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P1、P2（如圖（2）），證明線段P1P2上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)．

Answer 1

【答案】

【1】所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．（2分）

【2】畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（不寫(xiě)文字說(shuō)明不扣分）．（3分）

【3】連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題意，

∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180度．

∴P1在AC上，

同理，P2也在AC上．

在△DP1P2和△BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

∴△DP1P2≌△BP1P2．

所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D關(guān)于AC對(duì)稱．

設(shè)P是P1P2上任一點(diǎn)，連接PD、PB，由對(duì)稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．（5分）

【解析】（1）根據(jù)題意可知，所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．因?yàn)樵趫D形內(nèi)部，所以不能是AC的端點(diǎn)，又由于α≠β，所以不是AC的中點(diǎn)．

（2）畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．（因?yàn)閷?duì)稱的兩個(gè)圖形完全重合）

（3）先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據(jù)題意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA證明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2關(guān)于P1P2對(duì)稱，P是對(duì)稱軸上的點(diǎn)，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)