Question

【題目】如圖（1），凸四邊形ABCD，如果點P滿足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點．

【1】在圖（3）正方形ABCD內畫一個半等角點P，且滿足α≠β；

【2】在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）；

【3】若四邊形ABCD有兩個半等角點P1、P2（如圖（2）），證明線段P1P2上任一點也是它的半等角點．

Answer 1

【答案】

【1】所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點．（2分）

【2】畫點B關于AC的對稱點B’，延長DB’交AC于點P，點P為所求（不寫文字說明不扣分）．（3分）

【3】連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據題意，

∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180度．

∴P1在AC上，

同理，P2也在AC上．

在△DP1P2和△BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

∴△DP1P2≌△BP1P2．

所以DP1=BP1，DP2=BP2，于是B、D關于AC對稱．

設P是P1P2上任一點，連接PD、PB，由對稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以點P是四邊形的半等角點．（5分）

【解析】（1）根據題意可知，所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點．因為在圖形內部，所以不能是AC的端點，又由于α≠β，所以不是AC的中點．

（2）畫點B關于AC的對稱點B’，延長DB’交AC于點P，點P為所求．（因為對稱的兩個圖形完全重合）

（3）先連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據題意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA證明△DP1P2≌△BP1P2而，那么△P1DP2和△P1BP2關于P1P2對稱，P是對稱軸上的點，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即點P是四邊形的半等角點