Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．
（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；
（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，從而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E為AB的中點，得到AE=BE．又因為∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．
②在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因為∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形BCFD是平行四邊形．
（2）在Rt△ABC中，設BC=a，則AB=2BC=2a，AD=AB=2a．設AH=x，則HC=HD=AD-AH=2a-x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²=3a²．
在Rt△ACH中，由勾股定理得AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²．解得x=a，即AH=a．求得HC的值后，利用sin∠ACH=AH：HC求值．
解答：（1）證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等邊△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E為AB的中點，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，
∴CE=AB，BE=AB．
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四邊形BCFD是平行四邊形．

（2）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AD=AB=2a．
設AH=x，則HC=HD=AD-AH=2a-x，
在Rt△ABC中，AC²=（2a）²-a²=3a²，
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²，
解得x=a，即AH=a．
∴HC=2a-x=2a-a=a．
∴sin∠ACH==．
點評：本題考查了：
（1）折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；
（2）全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，平行線的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，正弦的概念求解．