Question

14．如圖，AD、BE、CF是銳角△ABC的三條高，H為垂心，取AH的中點(diǎn)O，射線EO交AB于點(diǎn)P，DF交BE于點(diǎn)Q，求證：PQ⊥BC．

Answer 1

分析 根據(jù)高線的性質(zhì)，可得∠AFC=∠ADC=90°，根據(jù)垂心性質(zhì)，可得四點(diǎn)共圓，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠PEH+∠HFQ=90°，再根據(jù)四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)，可得∠PQE=∠PFE，∠PQE=∠AHE，根據(jù)平行線的判定，可得PQ∥AH．

解答 證明：如圖，
∵AD、BE、CF是銳角△ABC的三條高，
∴∠BFD+∠CFD=90°，∠AEO+∠PEH=90°．
∵∠AFC=∠ADC=90°，
∴A、F、D、C四點(diǎn)共圓，
∴∠DFC=∠DAC．
∵OE是Rt△斜邊上的中線，
∴AO=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠PEH+∠HFQ=90°，
∴∠PEQ+∠PFQ=180°．
∴FQEP四點(diǎn)共圓．
∴∠PQE=∠PFE．
∵A、F、H、E四點(diǎn)共圓，
∴∠AFE=∠AHE，
∴∠PQE=∠AHE，
∴PQ∥AH
∴PQ⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的五心，利用垂心的性質(zhì)得出四點(diǎn)共圓是解題關(guān)鍵，又利用同弦所對(duì)的圓周角相等．