觀察以下等式，猜想第n個(gè)等式應(yīng)為
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
．
1×2=
1
3
×1×2×3；
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，…
根據(jù)以上規(guī)律，請(qǐng)你猜測(cè)：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）
1
3
n（n+1）（n+2）
（n為自然數(shù)）
分析：根據(jù)規(guī)律，從1開始的兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積的和等于最后兩個(gè)自然數(shù)的乘積乘以比最后一個(gè)數(shù)大1的數(shù)然后再乘以
1
3
即可．
解答：解：1×2=
1
3
×1×2×3；
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，
…，
第n個(gè)等式為：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）．
故答案為：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=
1
3
n（n+1）（n+2）；
1
3
n（n+1）（n+2）．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出等式右邊的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：三點(diǎn)一測(cè)叢書八年級(jí)數(shù)學(xué)上 題型：044

等式中找規(guī)律

　　孫海洋是個(gè)愛動(dòng)腦筋的八年級(jí)學(xué)生，他特別喜歡數(shù)學(xué)，一有空就看數(shù)學(xué)課外書，并琢磨書上的問題．有一次，他從一本書中看到了下面一個(gè)有趣的問題：

　　仔細(xì)觀察下面4個(gè)等式：

　　32＝2＋22＋3

　　42＝3＋32＋4

　　52＝4＋42＋5

　　62＝5＋52＋6

　　……

　　請(qǐng)寫出第5個(gè)等式，由此能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？用公式將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示出來．

　　對(duì)這個(gè)問題，孫海洋感到很新奇，他認(rèn)真分析題目給出的4個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)有以下一些結(jié)構(gòu)特征：

　　(1)每個(gè)等式的左邊都是一個(gè)自然數(shù)的平方，等式的右邊都是3個(gè)數(shù)的和．

　　(2)4個(gè)等式的左邊依次是32、42、52、62，它們的底數(shù)3、4、5、6是4個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其大小均比所處等式的序號(hào)多2．

　　(3)每個(gè)等式右邊的3個(gè)加數(shù)也有明顯的規(guī)律．

　　第1個(gè)加數(shù)和第3個(gè)加數(shù)是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，并且第3個(gè)加數(shù)等于該等式左邊平方數(shù)的底數(shù)，第2個(gè)加數(shù)也是一個(gè)平方數(shù)，底數(shù)等于第1個(gè)加數(shù)．

　　根據(jù)以上規(guī)律，孫海洋猜想第5個(gè)等式應(yīng)該是72＝6＋62＋7．

　　孫海洋進(jìn)一步歸納了這5個(gè)等式的規(guī)律，用公式表示為(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1)…①其中n＝2，3，…

　　如果將①式右邊變形、左邊不變，那么可得(n＋1)2＝n2＋2n＋1…②

　　等式②多么眼熟啊！它不就是完全平方公式的一個(gè)具體應(yīng)用嗎？由此可見，孫海洋同學(xué)歸納的規(guī)律是正確的．

想一想，當(dāng)n＝0，1時(shí)，等式①是否成立？當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，等式①是否成立？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

觀察以下等式，猜想第n個(gè)等式應(yīng)為________．
1×2=數(shù)學(xué)公式×1×2×3；
1×2+2×3=數(shù)學(xué)公式×2×3×4
1×2+2×3+3×4=數(shù)學(xué)公式×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=數(shù)學(xué)公式×4×5×6，…
根據(jù)以上規(guī)律，請(qǐng)你猜測(cè)：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=________（n為自然數(shù)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

觀察以下等式，猜想第n個(gè)等式應(yīng)為______．
1×2=
1
3
×1×2×3；
1×2+2×3=
1
3
×2×3×4
1×2+2×3+3×4=
1
3
×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=
1
3
×4×5×6，…
根據(jù)以上規(guī)律，請(qǐng)你猜測(cè)：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=______（n為自然數(shù)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察以下等式,猜想第n個(gè)等式應(yīng)為__________.

　　1×2=1/3×1×2×3；1×2+2×3=1/3×2×3×4

　　1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5；1×2+2×3+3×4+4×5=1/3×4×5×6，……

　　根據(jù)以上規(guī)律,請(qǐng)你猜測(cè)：

　　1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)=　　　　(n為自然數(shù))

　

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