Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止。不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長(zhǎng)線）分別交BC（或它的延長(zhǎng)線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）。

1.問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有       及        ；

2.設(shè)CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)2的情況說(shuō)明理由）；

3.問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形？

 

Answer 1

 

1.△HGA及△HAB

2.

由（1）可知△AGC∽△HAB，∴，

即，所以

3.

①當(dāng)CG＜BC時(shí)，∠GAC=∠H＜∠HAC，

∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH，

又AH＞AG，AH＞GH，此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形；

②當(dāng)CG=BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，△AGH是等腰三角形；

此時(shí)，GC=，即x=；

③當(dāng)CG＞BC時(shí)，由（1）可知△AGC∽△HGA，

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH；

若AG=AH，則AC=CG，此時(shí)x=9；

綜上，當(dāng)x=9或時(shí)，△AGH是等腰三角形。

 解析:略