Question

已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過(guò)F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象與邊交于點(diǎn)E．
（1）直接寫(xiě)出線段AE、BF的長(zhǎng)（用含k的代數(shù)式表示）；
（2）記△OEF的面積為S．
①求出S與k的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量k的取值范圍；
②以O(shè)F為直徑作⊙N，若點(diǎn)E恰好在⊙N上，請(qǐng)求出此時(shí)△OEF的面積S．

Answer 1

分析：（1）從圖象上可以得到E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，代入到反比例函數(shù)的解析式求得其橫坐標(biāo)即可，F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，代入函數(shù)解析式求得其縱坐標(biāo)即可；
（2）①用K表示出CE、CF，利用S是四邊形和幾個(gè)三角形的面積的差表示出S即可；
②證得△AOE∽△CEF后，得到比例式，進(jìn)而得到有關(guān)K的一元二次方程求得K的值代入到①中求面積即可．

解答：解：（1）AE=

k

2

，BF=

k

3

；

（2）①依題意得：CE=AC-AE=3-

k

2

，
CF=BC-BF=2-

k

3

，
∴S=S_{四邊形OACB}-S_△CEF-S_△OAE-S_△OBF
=6-

1

2

(3-

k

2

)(2-

k

3

)-

1

2

k-

1

2

k
=-

1

12

k2+3．
其中0＜k＜6．
②∵OF為⊙N的直徑，
∴∠FEO=90°．
∵∠OAE=90°，
∴∠AOE+∠AEO=∠CEF+∠AEO=90°．
∴∠AOE=∠CEF．
∵∠OAE=∠C=90°．
∴△AOE∽△CEF
∴

AE

AO

=

CF

CE

，
即

k

4

=

2- k 3

3- k 2

，
整理得：-3k²+26k=48，
解得：k1=

8

3

，k₂=6（不合，舍去）．
∴當(dāng)k=

8

3

時(shí)，S=-

1

12

×(

8

3

)2+3=

65

27

點(diǎn)評(píng)：本題是一道反比例函數(shù)的綜合題，題目中還考查了比例式的證明及相似三角形的判定的知識(shí)，難度中等．