Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．
（1）弦AB=

2

3

（結(jié)果保留根號(hào)）；
（2）當(dāng)∠D=20°時(shí)，求∠BOD的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）如圖，過O作OE⊥AB于E，根據(jù)垂徑定理知道E是AB的中點(diǎn)，然后在Rt△OEB中利用已知條件即可求解；
（2）首先根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角的故選得到可以得到∠BOD=∠B+∠A+∠D，接著利用圓周角和圓心角的關(guān)系和已知條件即可求出∠BOD的度數(shù)．

解答：解：（1）如圖，過O作OE⊥AB于E，
∴E是AB的中點(diǎn)，
 在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴OE=1，
∴BE=

3

，
∴AB=2BE=2

3

；

（2）解法一：∵∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D．
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D． …（3分）
又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，
∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，…（4分）
∴∠BOD=2∠A=100°．…（5分）
解法二：如圖，連接OA．
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D． …（3分）
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，…（4分）
∴∠BOD=2∠DAB=100°（同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）．  …（5分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了垂徑定理、解直角三角形的應(yīng)用及三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系，同時(shí)也利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．