Question

如圖，矩形ABCD，延長BC到G，連接GD．作∠BGD的平分線交AB于E．若EG=DG，AD=AE．
（1）求證：GE=2BE；
（2）若EG=4，求梯形ABGD的面積．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接DE，∵AD=AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
設∠BGE=x，
∵GE是∠BGD的平分線，
∴∠BGE=∠DGE=x，
在Rt△BGE中，∠BEG=90°-x，
∵EG=DG，
∴∠DEG=（180°-x），
又∵∠AED+∠DEG+∠BEG=180°，
∴45°+（180°-x）+90°-x=180°，
解得x=30°，
即∠BGE=30°，
∴GE=2BE；

（2）解：∵GE是∠BGD的平分線，
∴∠CGD=∠BGE+∠DGE=30°+30°=60°，
∴CD=DGsin60°=4×=2，
在Rt△BGE中，BE=EG=×4=2，
BG=EGcos30°=4×=2，
∴AD=AE=AB-BE=2-2，
梯形ABGD的面積=（AD+BG）CD=（2-2+2）×2=（4-2）=12-2．
分析：（1）連接DE，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△ADE是等腰直角三角形，所以，∠AED=45°，設∠BGE=x，根據(jù)角平分線的定義可得∠DGE=x，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BEG，根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠DEG，然后根據(jù)平角等于180°列式求解即可得到x=30°，再根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半證明；
（2）先求出∠CGD=60°，然后解直角三角形求出CD的長度，根據(jù)矩形的對邊相等求出AB的長度，在Rt△BGE中，求出BE、BG的長度，然后求出AE，即可得到AD，然后利用梯形的面積公式列式計算即可得解．
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，題目設計巧妙，難度較大，利用∠BGE的度數(shù)恰好30°求解是解題的關鍵．