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如圖所示，正方形ABCD，分別過A、C兩點作∥，作于M，于N，直線MB、ND分別交于Q、P兩點，BC平分∠QBD．

求證：四邊形PQMN是正方形．

答案：略
解析：

證明：因為四邊形ABCD是正方形，BD是角平分線，

所以∠DBC=45°．

因為BC平分∠QBD，

所以∠QBC=∠DBC=45°，

所以∠QBD=90°．

因為于M點，于N點，

所以∠QMN=90°，QM∥PN，

因為∥，

所以四邊形PQMN是平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)，所以PQMN是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形)．

所以∠PQB=∠QBD=90°，MN=PQ，

所以DB∥FQ，

所以四邊形PDBQ是矩形，

所以∠QCB=∠QBC=45°，QB=PD，

所以QC=QB(等角對等邊)．

同理PC=PD，

所以，

同理．

所以PD=DN，所以PN=PQ，

所以矩形PQMN是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形)．


提示：

先證四邊形PQMN是平行四邊形，再證是矩形，最后證是正方形．


練習冊系列答案
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科目：初中數學 來源： 題型：

4、如圖所示，正方形ABCD中，E，F是對角線AC上兩點，連接BE，BF，DE，DF，則添加下列哪一個條件可以判定四邊形BEDF是菱形（　　）

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精英家教網如圖所示，正方形ABCD中，E為AB中點，F為AD中點，DE、CF交于O點，求證：DE⊥CF．

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精英家教網如圖所示，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DE平分∠ODC交OC于點E，若AB=2，則線段OE的長為（　　）
A、
2
2
B、
2
2
3
C、2-
2
D、
2
-1

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．

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如圖所示的正方形網格中（網格中的每個小正方形邊長是1），△ABC的頂點均在格點上，請在所給的直角坐標系中解答下列問題：
（1）作出△ABC繞點A逆時針旋轉90°的△AB1C1，再作出△AB1C1關于原點O成中心對稱的△A1B2C2．（要求：用直尺作出圖形即可，不用保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）點B1的坐標是
（-2，-3）
（-2，-3）
，點C2的坐標是
（3，1）
（3，1）
．
（3）求△ABC繞點A逆時針旋轉90°的過程中，線段AB掃過的面積．

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