Question

如圖，PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D為PC的中點(diǎn)，連AD并延長(zhǎng)交⊙O于E，已知：BE²=DE•EA．求證：
（1）PA=PD．
（2）2BP²=AD•DE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AB，根據(jù)已知證△DEB∽△BEA，推出∠DBE=∠EAB，根據(jù)切線得出∠PAB=∠E，推出∠PAD=∠PDA即可；
（2）根據(jù)切割線定理和相交弦定理得出PA²=PB×PC=PD²，AD×DE=BD×DC，推出PB=BD=PD=DC，即可得出答案．
解答：證明：（1）
連接AB，
∵BE²=DE•EA，
∴=，
∵∠E=∠E，
∴△DEB∽△BEA，
∴∠DBE=∠EAB，
∵PA切⊙O于A，
∴∠PAB=∠E，
∴∠PAB+∠BAE=∠E+∠DBE，
即∠PAD=∠ADP，
∴PA=PD；

（2）證明：∵PA=PD，PA是⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，
∴由切割弦定理得：PA²=PB×PC=PD²，
∵D為PC中點(diǎn)，
∴PD=DC，
∴PD²=PB×2PD，
∴PD=2PB，DC=PD=2PB，
∵PD=PB+BD，
∴BD=PB，
由相交弦定理得：AD×DE=BD×DC，
∴AD×DE=PB×2PB，
即2PB²=AD×DE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形外角性質(zhì)，切線的性質(zhì)，切割線定理，相交弦定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．