Question

在邊長為1的正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)P，邊BC上取一點(diǎn)Q，邊CD上取一點(diǎn)M，邊AD上取一點(diǎn)N，如果AP+AN+CQ+CM=2，求證：PM⊥QN．

Answer 1

【答案】分析：直接證明PM⊥QN有困難，可設(shè)想將QN旋轉(zhuǎn)90°成一新的直線Q₁N₁，只需證明PM∥Q₁N₁即可．
解答：證明：如圖所示，將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，
則正方形ABCD變到正方形ADC₁D₁的位置，
其中A不變，B變到D，Q變到Q₁，C變到C₁，N變到N₁，直線QN變到Q₁N₁．
因此QN⊥Q₁N₁，
因?yàn)锳N=AN₁，CQ=C₁Q₁，
所以PN₁=AP+AN₁=AP+AN=2-（CM+CQ）=CC₁-（CM+C₁Q₁）=MQ₁．
又PN₁∥MQ₁，
所以四邊形PMQ₁N₁是平行四邊形．
故PM∥Q₁N₁．
因此PM⊥QN．
點(diǎn)評：中心對稱的性質(zhì)：
（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分．
（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．
中心對稱的思想方法：
利用中心對稱的性質(zhì)可以解決線段的相等問題、中點(diǎn)及角的相等問題以及轉(zhuǎn)化圖形來解決某些較困難的題型．