Question

如圖所示，直線與y軸相交于點D，點A₁在直線上，點B₁在X軸上，且△OA₁B₁是正三角形，記作第一個正三角形；然后過B₁作B₁A₂∥OA₁與直線相交于點A₂，點B₂在X軸上，再以B₁A₂為邊作正三角形A₂B₂B₁，記作第二個正三角形；同樣過B₂作B₂A₃∥B₁A₂與直線相交于點A₃，點B₃在x軸上，再以B₂A₃為邊作正三角形A₃B₃B₂，記作第三個正三角形；…依此類推，則第n個正三角形的頂點A_n的縱坐標為（ ）
A．2^n-1
B．2^n-2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：可設直線與x軸相交于C點．通過求交點C、D的坐標可求∠DCO=30°．根據(jù)題意得△COA₁、△CB₁A₂、△CB₂A₃…都是等腰三角形，且腰長變化有規(guī)律．在正三角形中求高即可得解．
解答：解：設直線與x軸相交于C點．
令x=0，則y=；  令y=0，則x=-1．
∴OC=1，OD=．
∵tan∠DCO==，∴∠DCO=30°．
∵△OA₁B₁是正三角形，∴∠A₁OB₁=60°．
∴∠CA₁O=∠A₁CO=30°，∴OA₁=OC=1．
∴第一個正三角形的高=1×sin60°=；
同理可得：第二個正三角形的邊長=1+1=2，高=2×sin60°=；
         第三個正三角形的邊長=1+1+2=4，高=4×sin60°=2；
         第四個正三角形的邊長=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=4；
…
        第n個正三角形的邊長=2^（n-1），高=2^（n-2）×．
∴第n個正三角形頂點A_n的縱坐標是2^（n-2）×．
故選D．
點評：此題考查一次函數(shù)的應用及正三角形的有關計算，綜合性強，難度大．