Question

△ABC中，AB=AC，D、E分別是邊AC、BC上的一點(diǎn)，AE、BD交于點(diǎn)F，連接DE，且∠BAC=∠AFD=α，
（1）如圖1，若α=90°，線段AD、AC具有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，∠ADB=∠CDE；
（2）如圖2，若α=60°，線段AD、AC具有怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，∠ADB=∠CDE；

Answer 1

證明：（1）過(guò)點(diǎn)C作AC垂線交AE延長(zhǎng)線于G，
則∠ACG=90°，
∵∠BAC=∠AFD=90°，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠BAF+∠CAG=90°，
∴∠ABD=∠CAG，
在△ABD和△CAG中，
，
∴△ABD≌△CAG（ASA），
∴AD=CG，∠ADB=∠G，
當(dāng)∠ADB=∠CDE時(shí)，
則∠CDE=∠G，
∵∠ACG=∠BAC=90°，
∴AB∥CG，
∴∠GCE=∠ABC=∠DCE=45°，
在△CDE和△CGE中，
，
∴△CDE≌△CGE（AAS），
∴CG=CD=AD，
∴AD=AC，
∴當(dāng)AD=AC時(shí)，∠ADB=∠CDE；

（2）∵∠AFD=∠BAC=60°，
又∵∠AFD=∠ABD+∠BAE=60°，∠BAE+∠EAC=60°，
∴∠ABD=∠EAC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，
當(dāng)∠ADB=∠CDE時(shí)，
則∠AEC=∠CDE，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CEA，
∴，
∴CE²=CD•CA，
∴AD²=（AC-AD）•AC，
即AD²+AD•AC-AC²=0，
∴（不合題意，舍去），
∴當(dāng)時(shí)，∠ADB=∠CDE．
分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)C作AC垂線交AE延長(zhǎng)線于G，由∠BAC=∠AFD=90°，易證得△ABD≌△CAG，繼而可證得△CDE≌△CGE，則可得CG=CD=AD，即可得當(dāng)AD=AC時(shí)，∠ADB=∠CDE；
（2）由∠BAC=∠AFD=60°，可得△ABC是等邊三角形，易證得△ABD≌△CAE（ASA），繼而可得△CDE∽△CEA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．