Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求證：△APB∽△PEC；
（2）若CE=3，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AF∥CD交BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠AFB=∠C=∠B=60°，
∴△ABF為等邊三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，
∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
設(shè)BP=x，則PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
解得：x₁=3，x₂=4，
經(jīng)檢驗(yàn)：x₁=3，x₂=4是原分式方程的解，
∴BP的長(zhǎng)為：3或4．