如圖,在半徑為4的⊙O中,AB,CD是兩條直徑,M是OB的中點,CM的延長線交⊙O于點E,設DE=
a
(a>0)
,EM=x.
(1)用含x和a的代數(shù)式表示MC的長,并求證:x2-
64-a
•x+12=0

(2)當a=15,且EM>MC時,求sin∠EOM的值;
(3)根據(jù)圖形寫出EM的長的取值范圍.試問:在弧DB上是否存在一點E,使EM的長是關于x的方精英家教網(wǎng)x2-
64-a
•x+12=0
的相等實數(shù)根?如果存在,求出sin∠EOM的值;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形CDE,再根據(jù)勾股定理求得CE的長,進一步求得MC的長.根據(jù)相交弦定理進行證明.
(2)根據(jù)(1)中的方程即可求得x的值,即可以求得EM,CM的長.此時會發(fā)現(xiàn)三角形EOM是等腰三角形,作其底邊上的高,根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理求得其底邊上的高,再進一步求得sin∠EOM的值;
(3)根據(jù)圖形可知EM一定大于BM的長,即2,而小于AM的長,即6.首先根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根,利用△=0求得a的值,再進一步求得EM的長.根據(jù)EM,OE,OM的長,不難發(fā)現(xiàn)這是一個直角三角形,即可求得sin∠EOM的值.
解答:解:(1)∵CD是直徑
∴∠CED=90度
在直角三角形CDE中,DE=
a
,CD=8
根據(jù)勾股定理,得CE=
64-a

∴MC=
64-a
-x
根據(jù)相交弦定理,得
AM•BM=CM•EM
即x(
64-a
-x)=6×2
x2-
64-a
•x+12=0


(2)當a=15時,根據(jù)(1)中的方程,有
x2-7x+12=0
解得x=3或x=4
又EM>MC,則
EM=4,MC=3
因為EM=EO=4,作EF⊥OB于F,則OF=1
根據(jù)勾股定理,得EF=
15

所以sin∠EOM=
15
4


(3)根據(jù)圖形,顯然2<x<6.
根據(jù)EM的長是關于x的方程x2-
64-a
•x+12=0
的相等實數(shù)根,則
△=64-a-48=0
∴a=16
把a=16代入方程,解得x=2
3

即EM=2
3

又∵OE=4,OM=2
∴sin∠EOM=
3
2
點評:綜合運用了數(shù)形結合的知識.既要熟悉一元二次方程根的判別式,還要熟悉相交弦定理、勾股定理及其逆定理和銳角三角函數(shù)的定義.在計算的過程中能夠根據(jù)線段的長發(fā)現(xiàn)特殊的三角形.
練習冊系列答案
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A、(
2
2
)
n
R
B、(
1
2
)
n
R
C、(
1
2
)
n-1
R
D、(
2
2
)
n-1
R

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3
,則∠AOB=
 
度.

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y=-
1
3
x2+
4
9
(o<x<1)
y=-
1
3
x2+
4
9
(o<x<1)

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