Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三點．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）若該拋物線的頂點為D，求直線AD的解析式；
（3）點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線圖象上不同的三點坐標，利用待定系數法能求出拋物線的解析式．
（2）將（1）的拋物線解析式化為頂點式，即可得到頂點D的坐標，點A的坐標已知，利用待定系數法即可求出直線AD的解析式．
（3）題目給出的四邊形四頂點排序沒有明確，因此要分兩種情況討論：
①線段AB為平行四邊形的邊；那么點Q向左或向右平移AB長個單位就能得到點P的坐標，點Q的橫坐標是確定的，那么點P的坐標就能確定出來，而點P恰好在拋物線的圖象上，代入拋物線的解析式即可求出點P的坐標；
②線段AB為對角線；那么點Q、P關于AB的中點對稱（平行四邊形是中心對稱圖形），思路同①，首先確定點P的橫坐標，再代入拋物線的解析式中確定其具體的坐標值．
解答：解：（1）由題意，知：拋物線與x軸的交點為A（-1，0）、B（3，0），
可設其解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點C的坐標，得：
-1=a（0+1）（0-3），
解得：a=
故拋物線的解析式：y=（x+1）（x-3）=x²-x-1．

（2）由（1）知，拋物線的解析式：y=x²-x-1=（x-1）²-；
∴D（1，-）；
設直線AD的解析式為：y=kx+b，代入A（-1，0）、D（1，-），得：
，解得
故直線AD的解析式：y=-x-．

（3）設點Q的坐標為（0，y），分兩種情況討論：
①線段AB為平行四邊形的邊，則QP∥x軸，且QP=AB=4，有：
1、將點Q向左平移4個單位，則P₁（-4，y），代入拋物線的解析式，得：
y=（-4+1）（-4-3）=7，
即：P₁（-4，7）；
2、將點Q向右平移4個單位，則P₂（4，y），代入拋物線的解析式，得：
y=（4+1）（4-3）=，
即：P₂（4，）；
②線段AB為平行四邊形的對角線，則Q、P關于AB的中點對稱，即P₃（2，-y），代入拋物線的解析式，得：
-y=（2+1）（2-3）=-1，
即：P₃（2，-1）；
綜上，滿足條件的點P的坐標為（-4，7）、（4，）、（2，-1）．
點評：前兩個小題主要考查的是利用待定系數法確定函數解析式的解題方法，這是函數題目中最基礎的題目，需要熟練掌握．最后一個小題比較容易漏解，這就要求同學能夠將滿足條件的平行四邊形的幾種情況都考慮到（或在圖上畫出來），此類題型都需要進行分類討論，也是函數綜合題和壓軸題中的�？碱}目．