Question

如圖，邊長是5的正方形ABCD內(nèi)，半徑為2的⊙P與邊DC和AD相切，⊙Q與⊙P外切于點(diǎn)M，并且⊙Q與邊BC和AB相切，EF是兩圓的公切線，點(diǎn)E、F分別在AB和BC上，則EF的長等于________．

Answer 1

6-4
分析：連接BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出圓心P、Q在BD上，設(shè)⊙P與正方形的切點(diǎn)為H、G，⊙Q與正方形的切點(diǎn)為I、J，圓Q的半徑為r，利用切線長定理和勾股定理求出r=8-5，則BM=r+r=3-2，再根據(jù)切線及正方形的性質(zhì)，證明BM是等腰直角三角形斜邊上的中線，得出EF=2BM．
解答：解：連接BD，則圓心P、Q在BD上，設(shè)⊙P與正方形的切點(diǎn)為H、G，⊙Q與正方形的切點(diǎn)為I、J，圓Q的半徑為r．
∵⊙P分別與DA、DC邊相切，
∴PG⊥AD、PH⊥DC，
又∵PG=PH=2，∠ADC=90°，
∴四邊形GPHD為正方形，
∴DP=PH=2，
同理，BQ=r．
∵AB=AD=5，
∴DB=5．
∵DP+PQ+BQ=BD，
∴2+（2+r）+r=5，
∴r=8-5，
∴BM=r+r=3-2．
∵EF是兩圓的公切線，
∴EF⊥PQ，即EF⊥BD，
又∵∠MBE=∠MBF=45°，
∴∠MEB=∠MFB=45°，
∴BE=BF，
∴EF=2BM=6-4．
故答案為6-4．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．通過作輔助線，求出圓Q的半徑是解題的關(guān)鍵．