已知:如圖,在平面直角坐標系中,△ABC為等腰三角形,直線AC解析式為y=-2x+6,精英家教網(wǎng)將△AOC沿直線AC折疊,點O落在平面內的點E處,直線AE交x軸于點D.
(1)求直線AD解析式;
(2)動點P以每秒1個單位的速度,從點B出發(fā)沿著x軸正方向勻速運動,點Q是射線CE上的點,且∠PAQ=∠BAC,設P運動時間為t秒,求△POQ的面積S與t之間的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的條件下,直線CE上是否存在一點F,使以點F、A、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t值及Q點坐標;若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)直線AC的解析式,易確定出OB、OA、OC的長,根據(jù)折疊的性質知:OC=CE,即可得CE的值;用未知數(shù)表示出CD的長,然后根據(jù)△CDE∽△ADO得到DE的表達式,進而可在Rt△CDE中,由勾股定理求得CD的長,即可得D點坐標,從而利用待定系數(shù)法求得直線AD的解析式.
(2)此題應注意運用全等三角形來求解;由已知條件∠PAQ=∠BAC,可推出∠BAP=∠CAQ(兩個等角減去或加上一個同角),從而證得△BAP≌△CAQ,得BP=CQ,以OP為底、CE•sin∠ECD為高即可求得△POQ的面積表達式,由此求得S、t的函數(shù)關系式;需要注意的是,在表示OP長時,要分兩種情況:
①點P在線段OB上,②點P在x軸正半軸上.
(3)此題按兩種情況考慮即可:①以AD為邊,②以AD為對角線;可運用平行四邊形的性質結合直線CE的解析式來求解.
解答:解:(1)∵直線AC解析式為y=-2x+6,
∴A點的坐標為(0,6),C點坐標為(3,0);
即OA=6,OC=3;
由折疊的性質知:∠AEC=∠AOC=90°,OA=AE=6,OC=CE=3;
設CD=x(x>0),則OD=x+3;
易證得:△CED∽△AOD,由于OA=2CE,
所以OD=2DE,即DE=
x+3
2

在Rt△CED中,由勾股定理得:
32+(
x+3
2
2=x2,解得x=5(負值舍去);
故CD=5,OD=8,D(8,0);
設直線AD的解析式為:y=kx+6,則有:
8k+6=0,k=-
3
4
,精英家教網(wǎng)
∴直線AD解析式為y=-
3
4
x+6


(2)①當P在線段BO上時,即0<t<3時;
∵∠BAC=∠PAQ,∴∠BAP=∠CAQ=∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC;
又∵∠ABP=∠ACQ=∠ACO,且AB=AC,
∴△ABP≌△ACQ,得BP=CQ=t,OP=3-t;
∴△POQ的面積為:S=
1
2
OP•CQ•sin∠ECD=
1
2
(3-t)×
4
5
t,
即S=-
2
5
t2+
6
5
t;
②當P在x軸正半軸上時,即t>3時;
同①可得:BP=CQ=t,OP=t-3;
∴S=
1
2
OP•CQ•sin∠ECD=
1
2
(t-3)×
4
5
t,
即S=
2
5
t2-
6
5
t;
綜上可知:S=
-
2
5
t2+
6
5
t(0<t<3)
2
5
t2-
6
5
t(t>3)


(3)分兩種情況:
①0<t<3時,顯然不存在以AD為邊的情況,那么只考慮以AD為對角線的情況;
此時P(t-3,0),取易知AD的中點為:(4,3);
由于平行四邊形中,以AD、PF為對角線,所以AD的中點也是PF的中點;
則F(11-t,6);
易求得直線CE:y=
4
3
x-4,代入F點坐標得:
4
3
(11-t)-4=6,解得t=
7
2
;
即BP=CQ=
7
2
,∴Q(
3
2
×
3
5
+3,
3
2
×
4
5
),即Q(
51
10
,
14
5
);
②t>3時,顯然不存在以AD為對角線的情況,那么只考慮以AD為邊的情況;
此時PF∥DP,即F點縱坐標為6,由①得,此時F(
15
2
,6);
即DP=AF=
15
2
,BP=BD+DP=11+
15
2
=
37
2
,即t=
37
2
;
此時CQ=BP=
37
2
,同①可求得:Q(
141
10
,
74
5
).
綜上可知:存在符合條件的F點,此時的t值和Q點坐標分別為:
t=
3
2
,Q(
51
10
,
14
5
)或t=
37
2
,Q(
141
10
,
74
5
).
點評:此題主要考查了圖形的翻折變換、一次函數(shù)解析式的確定、相似三角形及全等三角形的判定和性質、以及平行四邊形的判定等知識,同時考查了分類討論數(shù)學思想的引用,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系中,直y=
3
2
x+b
與雙曲線y=
16
x
相交于第一象限內的點A,AB、AC分別垂直于x軸、y軸,垂足分別為B、C,已知四邊形ABCD是正方形,求直線所對應的一次函數(shù)的解析式以及它與x軸的交點E的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系中,原點O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點落在X軸上為點B.有人在線段OB上點C(靠點B一側)豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內.已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個圓柱形桶時,乒乓球能不能落入桶內?
(3)當豎直擺放圓柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
個時,乒乓球可以落入桶內?(直接寫出滿足條件的一個答案)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知,如圖1,在平面直角坐標系內,直線l1:y=-x+4與坐標軸分別相交于點A、B,與直線l2y=
13
x
相交于點C.
(1)求點C的坐標;
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點E,交直線l2于點D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點M,交直線l2于點N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如圖2,點P是第四象限內一點,且∠BPO=135°,連接AP,探究AP與BP之間的位置關系,并證明你的結論.

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科目:初中數(shù)學 來源:2012屆重慶萬州區(qū)巖口復興學校九年級下第一次月考數(shù)學試卷(帶解析) 題型:解答題

已知:直角梯形AOBC在平面直角坐標系中的位置如圖,若AC∥OB,OC平分∠AOB,CB⊥x軸于B,點A坐標為(3 ,4). 點P從原點O開始以2個單位/秒速度沿x軸正向運動 ;同時,一條平行于x軸的直線從AC開始以1個單位/秒速度豎直向下運動 ,交OA于點D,交OC于點M,交BC于點E. 當點P到達點B時,直線也隨即停止運動.

(1)求出點C的坐標;
(2)在這一運動過程中, 四邊形OPEM是什么四邊形?請說明理由。若
用y表示四邊形OPEM的面積 ,直接寫出y關于t的函數(shù)關系式及t的
范圍;并求出當四邊形OPEM的面積y的最大值?
(3)在整個運動過程中,是否存在某個t值,使⊿MPB為等腰三角形?
若有,請求出所有滿足要求的t值.

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科目:初中數(shù)學 來源:2013年浙江省湖州市中考數(shù)學模擬試卷(十一)(解析版) 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系中,原點O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點落在X軸上為點B.有人在線段OB上點C(靠點B一側)豎直向上擺放無蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內.已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個圓柱形桶時,乒乓球能不能落入桶內?
(3)當豎直擺放圓柱形桶______個時,乒乓球可以落入桶內?(直接寫出滿足條件的一個答案)

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