Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣ [（x﹣2）2+n]與x軸交于點(diǎn)A（m﹣2，0）和B（2m+3，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC．

（1）求m、n的值；

（2）如圖2，點(diǎn)N為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于直線BC上方，連接CN、BN．求△NBC面積的最大值；

（3）如圖3，點(diǎn)M、P分別為線段BC和線段OB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PM、PC，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PCM為等腰三角形，△PMB為直角三角形同時(shí)成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)m=1，n=﹣9；(2)；(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線的解析式確定對(duì)稱軸為直線x=2，再利用對(duì)稱性得到2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解方程可得m的值，從而得到A（﹣1，0），B（5，0），然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]可求出n的值；（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，利用拋物線解析式確定C（0，3），再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=﹣x+3，設(shè)N（x，﹣x2+x+3），則D（x，﹣x+3），根據(jù)三角形面積公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=﹣x2+x，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）先利用勾股定理計(jì)算出BC=，再分類討論：當(dāng)∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，證明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的長(zhǎng)，再計(jì)算OP后可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠MPB=90°，則MP=MC，設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，證明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的長(zhǎng)，再計(jì)算OP后可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線的解析式為y=﹣ [（x﹣2）2+n]=﹣（x﹣2）2﹣n，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，

∵點(diǎn)A和點(diǎn)B為對(duì)稱點(diǎn)，

∴2﹣（m﹣2）=2m+3﹣2，解得m=1，

∴A（﹣1，0），B（5，0），

把A（﹣1，0）代入y=﹣ [（x﹣2）2+n]得9+n=0，解得n=﹣9；

（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，

拋物線解析式為y=﹣ [（x﹣2）2﹣9]=﹣x2+x+3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3，則C（0，3），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（5，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)N（x，﹣x2+x+3），則D（x，﹣x+3），

∴ND=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，

∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=5ND=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

當(dāng)x=時(shí)，△NBC面積最大，最大值為；

（3）存在．

∵B（5，0），C（0，3），

∴由勾股定理得BC=，

當(dāng)∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，

設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，

∵∠MBP=∠OBC，

∴△BMP∽△BOC，

∴，即，解得t=，BP=，

∴OP=OB﹣BP=5﹣=，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

當(dāng)∠MPB=90°，則MP=MC，

設(shè)PM=t，則CM=t，MB=﹣t，

∵∠MBP=∠CBO，

∴△BMP∽△BCO，

∴，即，解得t=，BP=，

∴OP=OB﹣BP=5﹣=，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）．