Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且OA=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AO返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BO-OP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出t的取值范圍）；
（3）在點(diǎn)E從B向O運(yùn)動(dòng)的過程中，完成下面問題：
①四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
②當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，請(qǐng)你直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，求得OB的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）過點(diǎn)Q作QF⊥AO于點(diǎn)F，由△AQF∽△ABO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，借助于方程即可求得QF的長(zhǎng)，然后即可求得△APQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①分別從DE∥QB與PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性質(zhì)，即可求得t的值；
②根據(jù)題意可知即OP=OQ時(shí)，則列方程即可求得t的值．

解答：解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB=

AB2-OA2

=4．
∴A（3，0），B（0，4）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．
∴

3k+b=0 b=4.

解得

k=- 4 3 b=4.

∴直線AB的解析式為y=-

4

3

x+4；

（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QF⊥AO于點(diǎn)F．
∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABO，得

QF

BO

=

AQ

AB

．
∴

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t，
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
∴S=-

2

5

t²+

6

5

t；

（3）四邊形QBED能成為直角梯形．
①如圖2，當(dāng)DE∥QB時(shí)，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得

AQ

AO

=

AP

AB

．
∴

t

3

=

3-t

5

．
解得t=

9

8

；
如圖3，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得

AQ

AB

=

AP

AO

．
即

t

5

=

3-t

3

．
3t=5（3-t），
3t=15-5t，
8t=15，
解得t=

15

8

；
（當(dāng)P從A向0運(yùn)動(dòng)的過程中還有兩個(gè)，但不合題意舍去）

②當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ=t，
由于P與Q相同的時(shí)間和速度，
∴AQ=EQ=EP=t，
∴∠AEQ=∠EAQ，
∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
∴∠BEQ=∠EBQ，
∴BQ=EQ，
∴EQ=AQ=BQ=

1

2

AB
 所以t=

5

2

，
當(dāng)P從A向O運(yùn)動(dòng)時(shí)，
過點(diǎn)Q作QF⊥OB于F，
EP=6-t，
即EQ=EP=6-t，
AQ=t，BQ=5-t，
∴FQ=

3

5

（5-t）=3-

3

5

t，BF=

4

5

（5-t）=4-

4

5

t，
∴EF=4-BF=

4

5

t，
∵EF²+FQ²=EQ²，
即（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²=（6-t）²，
解得：t=

45

14

．
∴當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，t=

5

2

或

45

14

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．