Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF．求證：AE=AF．

 

Answer 1

分析： 方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結(jié)論．

方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進(jìn)而得到AC垂直平分EF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=AF．

解答： 證明：連接CE，

∵EF是線段AC的垂直平分線，

∴AE=CE，OA=OC，

∵AE∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

在△AOE與△COF中，

∵，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

∵AE=CE，

∴四邊形AFCE是菱形，

∴AE=AF．

 

另法：∵AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，

∵，

∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，

∴OE=OF，

∴AC垂直平分EF，

∴AE=AF．