Question

提示：此題有I、II、IIV三道題目，其中I題4分，II題6分，IIV題8分．

題目I：如圖I，已知∠B=∠C，試說明；
題目II：如圖II，已知，試說明OB•OD=OC•OE；
題目III：在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是AD中點，MN⊥AD交BC的延長線于N，求證：DN²=BN•CN．

Answer 1

證明：題目I，∵∠B=∠C，∠BAD=∠EAC，
∴△ABD∽△ACE，
∴；

題目II：
∵，
∴，
∵∠BAD=∠EAC，
∴△ADB∽△AEC，
∴∠B=∠C，
∵∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴，OB•OD=OC•OE；

題目III：如圖，連接AN，
∵M是AD中點，MN⊥AD交BC的延長線于N，
∴AN=DN，∠ADN=∠DAN，∠ANM=∠DNM，
在△ABD中，
∠AND=∠B+∠MAD，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠MAD，
∵∠DAN=∠DAC+∠CAN，
∴∠CAN=∠B，
又∵∠ANM=∠DNM，
∴△ANF∽△BNE，
∴．
∵AD是∠BAC的平分線，MN⊥AD，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠ANE=∠DNE，
∴△ANE∽△CNF，
∴，
∴，
∵AN=DN，
∴DN²=BN•CN．
分析：（1）根據已知條件求出△ABD∽△ACE，再根據相似三角形的對應邊成比例即可解答；
（2）先根據已知條件可得出=，再根據∠BAD=∠EAC可求出△ADB∽△AEC，再由相似三角形的對應角相等可求出∠B=∠C，由相似三角形的判定定理可求出△BOE∽△COD，再根據相似三角形的對應邊成比例解答即可；
（3）連接AN，根據M是AD中點，MN⊥AD可知AN=DN，由等腰三角形三線合一的特點可知∠ANE=∠DNE，
利用角平分線及三角形內角與外角的關系可知∠CAN=∠B，利用相似三角形的判定定理可知△BOE∽△COD，根據相似三角形的性質及角平分線判定定理可得△ANE∽△CNF，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．
點評：此題比較復雜，涉及到相似三角形的判定定理及性質、等腰三角形的判定定理及性質、角平分線的性質，涉及面較廣，難度較大．