Question

若x，y為正整數(shù)，使得x²+y²-x能被2xy整除，證明：x為完全平方數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：由x²+y²-x能被2xy整除得出，關(guān)于y的一個二次方程，并求出兩根，得出兩根的關(guān)系，△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]應(yīng)為完全平方數(shù)，由于x和（k²-1）x+1互質(zhì)，進一步得出x為完全平方數(shù)．
解答：證明：∵x²+y²-x能被2xy整除，則有x²+y²-x=2kxy（k為整數(shù)）整理成關(guān)于y的二次方程：y²-2kxy+（x²-x）=0（1）
由題設(shè)，此方程有一根y₁為整數(shù)，由韋達定理，另一根為y₂滿足y₂=2kx-y₁
故y₂也是整數(shù)，因而方程（1）有兩個整數(shù)根，于是其判別式
△=4[k²x²-（x²-x）]=4x[（k²-1）x+1]應(yīng)為完全平方數(shù)．
由于x和（k²-1）x+1互質(zhì)，
故必為完全平方數(shù)．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及數(shù)的整除性和完全平均數(shù)，綜合性較強．