Question

如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是

1. A.
   △BPQ是等邊三角形
2. B.
   △PCQ是直角三角形
3. C.
   ∠APB=150°
4. D.
   ∠APC=135°

Answer 1

D
分析：根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABC=60°，根據(jù)全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判斷C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠Q(mào)C即可判斷D．
解答：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PQ=BP=4，
∵PQ²+QC²=4²+3²=25，PC²=5²=25，
∴PQ²+QC²=PC²，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等邊三角形，
∴∠BOQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PQ≠Q(mào)C，
∴∠QPC≠45°，
即∠APC≠135°，
∴選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．