Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（2，0），⊙O′與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，又B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，3）、（0，b），且0＜b＜3．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動(dòng)時(shí)，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關(guān)系？并寫(xiě)出每種位置關(guān)系時(shí)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)O′的坐標(biāo)，直接求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求得經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式；
（2）首先求得直線BE與⊙O′相切時(shí)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分情況考慮．

解答：解：（1）∵點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（2，0），
∴A（4，0）．
設(shè)經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線的解析式是y=kx+3，
把（-1，0）代入，得
-k+3=0，
k=3．
則直線BC的解析式是y=3x+3．

（2）設(shè)直線BE與⊙O′相切于點(diǎn)D，連接O′D，則O′D⊥BE．
根據(jù)勾股定理，得BD=

9-4

=

5

．
根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，得△BOE∽△BDO′，
則

OE

O′D

=

OB

BD

，
即b=

2

5

=

2

5

5

．
所以當(dāng)0＜b＜

2

5

5

時(shí)，直線和圓相交；
當(dāng)b=

2

5

5

時(shí)，直線和圓相切；
當(dāng)

2

5

5

＜b＜3時(shí)，直線和圓相離．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、相似三角形的判定和性質(zhì)以及直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系．