Question

（2013•廈門）已知點O是平面直角坐標系的原點，直線y=-x+m+n與雙曲線y=

1

x

交于兩個不同的點A（m，n）（m≥2）和B（p，q）．直線y=-x+m+n與y軸交于點C，求△OBC的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：先確定直線y=-x+m+n與坐標軸的交點坐標，即C點坐標為（0，m+n），D點坐標為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得到點A與點B關(guān)于直線y=x對稱，則B點坐標為（n，m），根據(jù)三角形面積公式得到S_△OBC=

1

2

（m+n）•n，然后mn=1，m≥2確定S的范圍．

解答：解：如圖，C點坐標為（0，m+n），D點坐標為（m+n，0），則△OCD為等腰直角三角形，
∴點A與點B關(guān)于直線y=x對稱，則B點坐標為（n，m），
∴S=S_△OBC=

1

2

（m+n）•n=

1

2

mn+

1

2

n²，
∵點A（m，n）在雙曲線y=

1

x

上，
∴mn=1，即n=

1

m

∴S=

1

2

+

1

2

（

1

m

）²
∵m≥2，
∴0＜

1

m

≤

1

2

，
∴0＜（

1

m

）²≤

1

4

，
∴

1

2

＜S≤

5

8

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．