Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第二、四象限內(nèi)的A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（m，﹣4），連接AO，AO=5，sin∠AOC= ．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）連接OB，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖所示．

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y= ．

∵AE⊥x軸，

∴∠AEO=90°．

在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC= ，∠AEO=90°，

∴AE=AOsin∠AOC=3，OE= =4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，3）．

∵點(diǎn)A（﹣4，3）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴3= ，解得：k=﹣12．

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣ ．

（2）

解：∵點(diǎn)B（m，﹣4）在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上，

∴﹣4=﹣ ，解得：m=3，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣4）．

設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，

將點(diǎn)A（﹣4，3）、點(diǎn)B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：

，解得： ，

∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x﹣1．

令一次函數(shù)y=﹣x﹣1中y=0，則0=﹣x﹣1，

解得：x=﹣1，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，0）．

S△AOB= OC（yA﹣yB）= ×1×[3﹣（﹣4）]=

【解析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)反比例函數(shù)解析式為y= ．通過解直角三角形求出線段AE、OE的長(zhǎng)度，即求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；（2）由點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，令該解析式中y=0即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求出直線AB的解析式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．