【題目】如圖1,在正方形ABCD中,EAB上一點,FAD延長線上一點,且DF=BE.易證:CE=CF.

(1)在圖1中,若GAD上,且∠GCE=450.試猜想GEBE,GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(2)運用(1)中解答所積累的經(jīng)驗和知識,完成下面兩題:

①如圖2,在四邊形ABCD中∠B=∠D=900BC=CD,點E,點G分別是AB邊,AD邊上的動點.若∠BCD=α,∠ECG=β,試探索當(dāng)α和β滿足什么關(guān)系時,圖1中GE,BE,GD三線段之間的關(guān)系仍然成立,并說明理由.

②在平面直角坐標(biāo)中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,點O在原點.現(xiàn)將正方形OABCO點順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點M,BC邊交x軸于點N(如圖3).設(shè)MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值是否有變化?若不變,請直接寫出結(jié)論.

【答案】(1)GE=BE+GD,證明見解析;(2)①α=2β,理由見解析;<span style="color: rgb(169, 68, 66); font-family: Meiryo; font-size: 15.3333px; line-height: 23px; background-color: rgb(245, 245, 245);">②</span>在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.理由見解析.

【解析】試題分析:(1)易知△CBE≌△CDF,易證得∠ECF=∠BCD=90°,又由∠GCE=45°,可得∠GCF=∠GCE=45°,即可證得△ECG≌△FCG,繼而可得GE=BE+GD;(2) ①α=2β,延長ADF點,使DF=BE,連接CF,可證EBC≌△FDC,GE=BE+GD;②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.延長BAy軸于E點,可以得出OAE≌△OCN,OME≌△OMN,p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2.

試題解析:

(1)∵在EBCFDC中,∴△EBC≌△FDC,∴∠DCF=∠BCE,

∵∠GCE=45°,∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°,即∠DCG+∠DCF=45°,∴GC=GC,ECG=∠FCG

ECGFCG中,,∴△ECG≌△FCG,∴EG=GF,即GE=BE+GD

(2)①α=2β.如圖,

延長ADF點,使DF=BE,連接CF,可證EBC≌△FDC,

則∠BCE+∠DCG=∠GCF,由α=2β可知∠ECG=∠GCF,可證ECG≌△FCG,故EG=GF,即GE=BE+GD

②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.

證明:如圖,

延長BAy軸于E點,則∠AOE=45°﹣∠AOM,∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM,

∴∠AOE=∠CON.又∵OA=OC,∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN

OAEOCN中,.∴△OAE≌△OCNASA).∴OE=ONAE=CN

OMEOMN.∴△OME≌△OMNSAS).∴MN=ME=AM+AE

MN=AM+CN,∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2.

∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值無變化.

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(1)= ,= ,△的面積為 ;

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(3)當(dāng)x1=x2且y1=y2時,A=B.

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②若有A⊕B=B⊕C,則A=C;

③若有A⊙B=B⊙C,則A=C;

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A. 438(1+x)2=389 B. 389(1+x)2=438

C. 389(1+2x)2=438 D. 438(1+2x)2=389

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