Question

在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），B的坐標(biāo)為（3，0），C（a，b）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若∠ABC=90°，且BA=BC，則ab的值為

21或-3

．

Answer 1

分析：討論：當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方．作CD⊥x軸，OA=4，OB=3，由于∠ABC=90°，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ABO≌△BCD，則BD=OA=4，CD=OB=3，于是C點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3），得到ab=21；當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方．如，作CE⊥x軸，與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE，得到BE=OA=4，CE=OB=3，則OE=4-3=1，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），得到ab=-3．

解答：解：當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方．如圖，作CD⊥x軸，
∵A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），B的坐標(biāo)為（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BCD中

∠BAO=∠CBD ∠AOB=∠BDC AB=BC

，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD=OA=4，CD=OB=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（7，3），
∴ab=7×3=21；
當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方．如，作CE⊥x軸，
與（1）證明方法一樣可證得△ABO≌△BCE（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=3，
∴OE=4-3=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），
∴ab=-1×3=-3．
故答案為21或-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了分類討論的思想、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．