Question

如圖，由矩形ABCD的頂點D引一條直線分別交BC及AB的延長線于F，G，連接AF并延長交△BGF的外接圓于H，連接GH，BH．
（1）求證：△DFA∽△HBG；
（2）過A點引圓的切線AE，E為切點，AE=3，CF：FB=1：2，求AB的長；
（3）在（2）的條件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．

Answer 1

證明：（1）∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，
∴∠HBG=∠AFD．
∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，
∴△DFA∽△HBG．

（2）∵CD∥AB，CD=AB，
∴．
即AG=3AB．
∵AE為⊙O的切線，
∴AE²=AB•AG．
∴AB=3．

（3）∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，
∴CF=2，BF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AF=．
∵AE²=AF•AH，
∴AH=FH=AH-AF=．
∴FH=AH-AF=．
∵∠FBG=90°，F(xiàn)G=，
∵FG為圓的直徑，
∴HG=．
∴tan∠HBG=18．
分析：（1）根據(jù)平行線的性質和圓周角定理的推論可以證明三角形中的兩個角對應相等，從而證明三角形相似；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AB和BG的比，再根據(jù)切割線定理列方程求解；
（3）根據(jù)勾股定理以及上述結論求得有關的邊沒再根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑，發(fā)現(xiàn)FG是直徑，根據(jù)圓周角定理的推論把要求的角轉換到直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解．
點評：綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定、平行線分線段成比例定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念．