Question

（本題12分）已知兩直線，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)B(－1，0)，并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y負(fù)半軸的點(diǎn)C時(shí)，恰好有，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)D，如圖所示。

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角時(shí)，它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P(x，y)，求四邊形APCB面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最大值；

（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，它與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為P，請(qǐng)找出使△PCD為等腰三角形的點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

 

Answer 1

【答案】

（1）可由兩角相等證得：△BOC∽△COA。

得，即，

∴，

∴C(0，－)

設(shè)，把(0，－)代入，得a＝，

∴拋物線的函數(shù)解析式為

（2）

（0＜x＜3）

當(dāng)x＝時(shí)，S的最大值是

（3）可得直線為，直線為，

拋物線的對(duì)稱軸為，拋物線頂點(diǎn)為(1，)，由此得D(1，)

① 以點(diǎn)D為圓心，線段DC長(zhǎng)為半徑畫弧，交拋物線于點(diǎn)，由拋物線對(duì)稱性可知點(diǎn)為點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，

∴點(diǎn)(2，)，此時(shí)△為等腰三角形；

② 當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，線段CD長(zhǎng)為半徑畫弧時(shí)，與拋物線交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn)B，而三點(diǎn)B、C、D在同一直線上，不能構(gòu)成三角形；

③ 作線段DC的中垂線，交CD于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P₂，P₃，交y軸于點(diǎn)F，

因?yàn)锽O＝1，，所以∠MCF＝∠OCB＝30°，

而CD＝2，CM＝CD＝1，則CF＝，OF＝，

則F(0，)，因∥，所以直線為，

代入，解得x＝1或x＝2，

說(shuō)明P₂就是頂點(diǎn)(1，)，

P₃就是P₁(2，)

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P為(－2，)或(1，)時(shí)，△PCD為等腰三角形。

【解析】

試題分析：（1）由兩組底腳相等，推導(dǎo)出兩個(gè)三角形相似，從而確立C點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以求得二次函數(shù)解析式。

（2）由于繞C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，因此P的坐標(biāo)設(shè)為(x,y)，四邊形面積可以寫為，無(wú)未知量，和可以由的高分別為-y和x，又P點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，所以可以算出y和x的關(guān)系式，進(jìn)而求出S與x的函數(shù)式。由于解出來(lái)的函數(shù)為二次函數(shù)，x的取值范圍已知，求出函數(shù)對(duì)稱軸，得出函數(shù)對(duì)稱軸在此范圍內(nèi)，所以要求最大值，實(shí)際上則是代入對(duì)稱軸所對(duì)應(yīng)的x值，可得出S。

（3）通過(guò)分類討論，各種不同的情況所對(duì)應(yīng)的等腰三角形也不相同，由已知條件可以推導(dǎo)出兩條直線的方程，結(jié)合函數(shù)圖像，可以得出P點(diǎn)的坐標(biāo)。

考點(diǎn)：函數(shù)圖像；幾何圖形

點(diǎn)評(píng)：一般試卷最后一道題都是綜合性的題目，學(xué)生需要掌握幾何圖形以及函數(shù)圖形、函數(shù)表達(dá)式的知識(shí)，從而將復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化，進(jìn)而可以求出一些未知量。