Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，梯形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別為A（-3，0），B（15，0），D（0，4），且CD=10．一條拋物線經(jīng)過C、D兩點，其頂點M在x軸上，點P從點A出發(fā)以每秒5個單位的速度沿AD向點D運動，到點D后又以每秒3個單位的速度沿DC向點C運動，到點C停止；同時，點E從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿BO運動，到點O停止．過點E作y軸的平行線，交邊BC或CD于點Q，交拋物線于點R．設(shè)P、E兩點運動的時間為t（秒）．
（1）寫出點M的坐標(biāo)，并求這條拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點Q和點R之間的距離為8時，求t的值．
（3）直接寫出使△MPQ成為直角三角形時t值的個數(shù)．
（4）設(shè)P、Q兩點之間的距離為d，當(dāng)2≤d≤7時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得C的坐標(biāo)，則M的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）首先求得直線BC的解析式，當(dāng)Q和點R之間的距離為8時，PQ一定在C點的右側(cè)，則根據(jù)Q和點R之間的距離為8，即可得到一個關(guān)于x的方程，求得x的值，即E點的橫坐標(biāo)，則BE即可求得，從而求得時間t；
（3））△MDC是等腰三角形，且是鈍角三角形，∠DMC是鈍角，且P和Q同時分別到達(dá)D和C，因而△MPQ的頂點P，Q在CD上移動時，三角形的三個角都可能是直角；
（4）首先判斷當(dāng)當(dāng)2≤d≤7時，P，Q都在線段CD上，即可列不等式組求解．
解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AB∥CD，D的坐標(biāo)是（0，4），CD=10，
∴C的坐標(biāo)是（10，4），
∴M的坐標(biāo)是（5，0），
設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-5）²，把（0，4）代入得：25a=4，解得：a=，
則拋物線的解析式是：y=（x-5）²；
（2）設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得：，解得：，則直線的解析式是：y=-x+12，
根據(jù)題意得：（x-5）²-（-x+12）=8，解得：x=（x=＜0，故舍去），
則x=．即OE=，BE=OB-OE=15-=，則t==；
（3）△MDC是等腰三角形，且是鈍角三角形，∠DMC是鈍角，且P和Q同時分別到達(dá)D和C．
因而△MPQ的頂點P，Q在CD上移動時，三角形的三個角都可能是直角，成為直角三角形；
點Q到達(dá)點D停止，但點P還在運動，還會出現(xiàn)一個直角三角形，故t的值有4個；
（4）作CF⊥AB于F．
則BF=5，
在直角△AOD中，AD===5，
∵點P從點A出發(fā)以每秒5個單位的速度沿AD向點D運動，點E從點B出發(fā)以每秒5個單位的速度沿BO運動．
∴P從A到D，以及E由B到F，即Q到達(dá)C，都需要1秒．
∵CD=10＞7，
∴當(dāng)2≤d≤7時，P，Q都在線段CD上．
設(shè)經(jīng)過x秒，P、Q相遇，則3（x-1）+5（x-1）=10，解得：x=，
設(shè)經(jīng)過t秒，P、Q兩點之間的距離為d，且2≤d≤7，當(dāng)P、Q相遇以前時：則PQ=10-3（t-1）-5（t-1）=18-8t，
則2≤18-8t≤7，
解得：≤t≤2．
相遇以后，即t≥時：PQ=3（t-）+5（t-）=8t-18，則2≤8t-18≤7，當(dāng)3（t-1）=7時，t=解得：≤t≤．
總之，t的取值范圍是：≤t≤2或≤t≤．
點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及方程與不等式組的應(yīng)用，正確判斷當(dāng)2≤d≤7時，P，Q都在線段CD上是關(guān)鍵．