Question

設(shè)直線l₁：y₁=k₁x+b₁與l₂：y₂=k₂x+b₂，若l₁⊥l₂，垂足為H，則稱直線l₁與l₂是點(diǎn)H的直角線．
（1）已知直線①y=-

1

2

x+2；②y=x+2；③y=2x+2；④y=2x+4和點(diǎn)C（0，2）．則直線

①

 和

③

是點(diǎn)C的直角線（填序號(hào)即可）；
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點(diǎn)A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P為線段OC上一點(diǎn)，設(shè)過(guò)B、P兩點(diǎn)的直線為l₁，過(guò)A、P兩點(diǎn)的直線為l₂，若l₁與l₂是點(diǎn)P的直角線，求直線l₁與l₂的解析式．

Answer 1

分析：（1）先將C坐標(biāo)代入排除④，找出其他三條直線的斜率分別為-

1

2

，1，2，由直線①與直線③的斜率乘積為-1，得到這兩直線垂直，可得出直線①與直線③是點(diǎn)C的直角線；
（2）由P在OC上，設(shè)P坐標(biāo)為（0，m），根據(jù)l₁與l₂是點(diǎn)P的直角線，根據(jù)題意得到PA與PN垂直，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB²，表示出PA²與PB²，利用勾股定理列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出直線l₁與l₂的解析式．

解答：解：（1）由題意得：直線①與直線③是點(diǎn)C的直角線；

（2）設(shè)P坐標(biāo)為（0，m），
∵l₁與l₂是點(diǎn)P的直角線，
∴PB⊥PA于點(diǎn)P，
又已知，AB²=（3-2）²+7²=50，PA²=PO²+OA²=m²+3²，PB²=PC²+BC²=（7-m）²+2²，
∴AB²=PA²+PB²=m²+3²+（7-m）²+2²=50，
解得：m₁=1，m₂=6，
則當(dāng)m=1時(shí)，l₁為：y₁=3x+1，l₂為：y₂=-

1

3

x+1；當(dāng)m=6時(shí)，l₁為：y₁=

1

2

x+6，l₂為：y₂=-2x+6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，屬于新定義題型，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．