Question

情境觀察將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示．將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示．

觀察圖2可知：與BC相等的線段是　_________　，∠CAC′=　_________　°．

問(wèn)題探究

如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

拓展延伸

如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H．若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

①AD，90       ②△AFQ≌△CAG      ③HE=HF（具體過(guò)程見解析） 

【解析】

試題分析：①觀察圖形即可發(fā)現(xiàn)△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，

∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；

故答案為：AD，90．

②∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，

∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，

又∵AF=AC，

∴△AFQ≌△CAG，

∴FQ=AG，

同理EP=AG，

∴FQ=EP．

③HE=HF．

理由：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q．

∵四邊形ABME是矩形，

∴∠BAE=90°，

∴∠BAG+∠EAP=90°，

又AG⊥BC，

∴∠BAG+∠ABG=90°，

∴∠ABG=∠EAP．

∵∠AGB=∠EPA=90°，

∴△ABG∽△EAP，

∴AG：EP=AB：EA．

同理△ACG∽△FAQ，

∴AG：FQ=AC：FA．

∵AB=k?AE，AC=k?AF，

∴AB：EA=AC：FA=k，

∴AG：EP=AG：FQ．

∴EP=FQ．

又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，

∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．

∴HE=HF．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了等腰三角形腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，本題中求證△AFQ≌△CAG是解題的關(guān)鍵．