Question

有一正整數(shù)列1，2，3，…，2n-1、2n，現(xiàn)從中挑出n個數(shù)，從大到小排列依次為a₁，a₂，…，a_n，另n個數(shù)從小到大排列依次為b₁，b₂，…，b_n．求|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_n-b_n|之所有可能的值．

Answer 1

解：令n+1、n+2、n+3、…、2n為大數(shù)，1、2、3、…、n為小數(shù)．
設(shè)a_i中必也有n-k個小數(shù)，則b_i中必有n-k個大數(shù)，k個小數(shù)，
其中i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z
令：a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b_n為大數(shù)，
b₁，b₂，…，b_k，a_k+1，a_k+2，…，a_n為小數(shù)．故|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_n-b_n|
=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_k-b_k|+|a_k+1-b_k+1|+|a_k+2-b_k+2|+…+|a_n-b_n|
=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_k-b_k）+（b_k+1-a_k+1）+（b_k+2-a_k+2）+…+（a_n-b_n）
=（（n+1）+（n+2）+…+（2n））-（1+2+3+…+n）
=n²．
分析：求|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_n-b_n|的值，首先要去掉絕對值符號，就要比較式子中a_k與b_k的大小關(guān)系，因而在這兩組數(shù)中，設(shè)a_i中必也有n-k個小數(shù)，則b_i中必有n-k個大數(shù)，k個小數(shù)，即可把絕對值符號去掉，求得式子的值．
點評：本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，正數(shù)的絕對值一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．并且能夠理解需要對兩組中的數(shù)進行比較，正確去掉絕對值符號，是解題的關(guān)鍵．