Question

如圖所示，等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD=AB=BC=2，CD=4，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，同時(shí)從D點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿D-A-B-C以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q沿線段DC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，另一點(diǎn)也停止移動(dòng)，若移動(dòng)的時(shí)間為t秒，△DPQ的面積為S個(gè)平方單位．
（1）直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式：
（2）當(dāng)t為何值時(shí)S取最大值，最大值為多少？
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使直線PQ與等腰梯形ABCD的某一邊所夾的銳角等于30°？若存在，直接寫出t的范圍或t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠D=60°，根據(jù)勾股定理求出梯形的高

3

，有3種情況：①0＜t≤1時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；②1＜t≤2時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；③當(dāng)2＜t＜3時(shí)，根據(jù)三角形的面積求出即可；
（2）通過(guò)計(jì)算得出只有t=2時(shí)，S有最大值，把t=2代入即可求出答案；
（3）當(dāng)P在AD上時(shí)，∠DPQ=30°，即可求出t的范圍；當(dāng)P在BC上時(shí)，∠PQC=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=

3

2

t²（0＜t≤1），S=

3

2

t（1＜t≤2），S=-

3

2

t²+

3 3

2

t（2＜＜3）．

（2）當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，最大值是S=

3

2

t=

3

，
答：t為2時(shí)S取最大值，最大值為

3

．

（3）存在，t的范圍是0＜t≤1 或t=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．