Question

【題目】已知，點(diǎn)P是等邊△ABC中一點(diǎn)，線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接PQ、QC．

（1）求證：PB=QC；

（2）若∠APB=150°，PA=9，PB=12，求PC的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）PC=15

【解析】

（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到證明△BAP≌△CAQ,,然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

（2）利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．

（1）證明：∵線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ是等邊三角形，

∴∠PAC+∠CAQ=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中，BA=CA，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ

∴△BAP≌△CAQ（SAS）；

∴PB=QC；

（2）解：∵△APQ是等邊三角形，

∴AP=PQ=9，∠AQP=60°，

∵∠APB=150°，

∴∠PQC=150°-60°=90°，

∵PB=QC=12，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC=．