Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D，連接AC，BD，CD．
（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及平行四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}？
（2）若點(diǎn)M是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求CM+DM的最小值？
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，使S_△PAB=2S_{四邊形ABDC}，若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，即可求得點(diǎn)C與D的坐標(biāo)，繼而求得平行四邊形ABDC的面積；
（2）首先點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′（0，-2），連接C′D，則C′D與x軸的交點(diǎn)即為M，然后由勾股定理求得CM+DM的最小值C′D的長(zhǎng)；
（3）由S_△PAB=2S_{四邊形ABDC}，可得$\frac{1}{2}$AB×OP=2×8，即可求得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A、B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，
∴C（0，2），D（4，2），
∴AB=4，OC=2，
∴S_{四邊形ABDC}=AB•OC=4×2=8；

（2）如圖1，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′（0，-2），連接C′D，則C′D與x軸的交點(diǎn)即為M，
則C′M=CM，CC′=2+2=4，CD=4，
∴CM+DM的最小值=C′M+DM=C′D=$\sqrt{CC{′}^{2}+C{D}^{2}}$=4$\sqrt{2}$；

（3）存在．
如圖2，∵S_△PAB=2S_{四邊形ABDC}，S_{四邊形ABDC}=8，
∴$\frac{1}{2}$AB×OP=2×8，
∵AB=4，
∴OP=8，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，8）或（0，-8）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于四邊形的綜合題．考查了平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、路徑最短問(wèn)題以及勾股定理等知識(shí)．注意分類討論思想的應(yīng)用．